三角形ABC中,AP是角A的平分线,求证AB :AC=BP:PC

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  • 已知,如图,AM为△ABC的角平分线,求证AB/AC=MB/MC 已知和证明1图

    证明:方法1:(面积法)   S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,  S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,  ∴S△ABM:S△ACM=AB:AC   又△ABM和△ACM是等高三角形,面积的比等于底的比,

    证明2

    即三角形ABM面积S:三角形ACM面积S=BM:CM   ∴AB/AC=MB/MC   方法2(相似形)   过C作CN∥AB交AM的延长线于N   则△ABM∽△NCM   ∴AB/NC=BM/CM   又可证明∠CAN=∠ANC   ∴AC=CN   ∴AB/AC=MB/MC 证明3图

    方法3(相似形)   过M作MN∥AB交AC于N   则△ABC∽△NMC,  ∴AB/AC=MN/NC   而在△ABC内,∵MN∥AB   ∴AN/NC=BM/MC   又可证明∠CAM=∠AMN   ∴AN=MN   ∴AB/AC=AN/NC   ∴AB/AC=MB/MC

    方法4(正弦定理)   作三角形的外接圆,AM交圆于D(起标明交点作用,对证明无影响)   由正弦定理,得,AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,  AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM   又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180°   sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,  ∴AB/AC=MB/MC

    这是三角形角平分线性质定理