已知三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值,且f(-2)=-4.

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  • 解题思路:(1)三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值,说明方程f′(x)=0的两个根为1和-1,求出a与b,再代入f(-2)=-4,求出c值;

    (2)由(1)求出f(x)的解析式,利用导数研究函数的单调性,求出极值;

    (3)由(2)已知f(x)的极大值和极小值,把端点值f(-2)和f(5),从而求出最值;

    (1)∵三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值,

    ∴f′(x)=3x2+2ax+b,

    f′(1)=0

    f′(−1)=0可得

    3+2a+b=0

    3−2a+b=0解得

    a=0

    b=−3;

    ∴f(x)=x3-3x+c,∵f(-2)=-4,可得(-2)3-3×(-2)+c=0,解得c=2,

    ∴f(x)=x3-3x+2;

    (2)∵f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),

    若f′(x)>0即x>1或x<-1,f(x)为增函数,

    若f′(x)<0即-1<x<1,f(x)为减函数,

    f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值,

    f(x)极大值=f(-1)=-1+3+2=4,f(x)极小值=f(1)=1-3+2=0;

    (3)∵求函数在区间[-2,5]的最值,

    已知f(x)极大值=4,f(x)极小值=0,

    f(-2)=(-2)3-3×(-2)+2=-8+6+2=0;

    f(5)=53-3×5+2=112,

    ∴f(x)的最大值为112,f(x)的最小值为0;

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 此题主要考查函数在某点的极值,利用导数研究函数的单调性,以及掌握不等式的解法.这是高考必考的考点;