解题思路：（1）利用一次函数结合A、B两点的特点，求出A、B两点的坐标，然后将A、B的坐标代入y=x2+bx+c，即可组成方程组求出b、c的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）画出二次函数图象，画出一次函数AB的图象，将△APB转化为△APG和△PGB两个三角形的面积的和来解答；
（3）设C点横坐标为a，据题意此推知C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），E点坐标为（a，a2-3a+1），F点坐标为（a+2，a2+a-1），得到 CE=-a2+4a，DF=a2-4，根据CE∥DF，CF∥ED，得出四边形CEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，求出-a2+4a=a2-4，或-a2+4a=-a2+4求出a的值，从而得到C点坐标．
（1）如图1，A点坐标为（0，1），
将y=5代入y=x+1，得x=4，
∴B点坐标为（4，5），
将A、B两点坐标代入y=x2+bx+c，
解得
b＝−3
c＝1，
∴二次函数解析式为y=x2-3x+1．
（2）y=x2-3x+（[3/2]）2-（[3/2]）2+1=（x-[3/2]）2-[5/4]，
P点坐标为（[3/2]，−
5
4），
抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则点G（[3/2]，[5/2]），
∴PG=|
5
2−(−
5
4)|＝
15
4，
∴S△ABP＝S△APG+S△BPG＝
15
2．
（3）如图2，设C点横坐标为a，
则C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），
E点坐标为（a，a2-3a+1），F点坐标为（a+2，a2+a-1），
由题意，得 CE=-a2+4a，DF=a2-4，
∵且CE、DF与y轴平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE=DF，
∴-a2+4a=a2-4，
解得，a1＝1+
3，
a2＝1−
3（舍），
∴C点坐标为（
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积与坐标的关系、平行四边形的判定等内容，以二次函数为依托，将所有知识有机的结合在一起，考查了学生的综合思维能力．