Question

在等差数列{an}中，a1=9，公差d=2，等比数列{bn}中，b1b2b3=729，公比q=3．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}中，a₁=9，公差d=2，

∴a_n=a₁+（n-1）d=9+（n-1）×2=2n+7；

（2）∵在等比数列{b_n}中，则b₁b₂b₃=b₂³=729，

∴b₂=9，又公比q=3，则b₁=3，

∴b_n=b₁×q^n-1=3×3^n-1=3ⁿ；

（3）由题意，c_n=a_nb_n+9=（2n+7）•3ⁿ+9，

∴f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36，

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，显然成立；

②假设n=k时，f（k）能被36整除，

即f（k）=（2k+7）•3^k+9能被36整除，

当n=k+1时，c_n=c_k+1=[2（k+1）+7]•3^k+1+9=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k-1-1），

∵3^k-1-1是2的倍数，

∴18（3^k-1-1）能被36整除，

也就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除．

综合①②，可知对于任意自然数n都有f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9能被36整除，m的最大值为36．