Question

（1）已知函数f(x)＝xm−4x，且f（4）=3．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；

Answer 1

解题思路：本题为函数问题，（1）为函数单调性的证明，用定义法，设值，作差，变形，判号，结论，五步曲（2）利用换元法，转化为二次函数在区间的最值问题即可．

（1）∵f（4）=3，∴4^m-1=3，解得，m=1，∴f(x)＝x−

4

x，

任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

x1−

4

x1−x2+

4

x2=（x₁-x₂）（1+[4

x1x2）

∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1+

4

x1x2＞0

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）

故函数f(x)＝x−

4/x]在（0，+∞）上为增函数．

（2）由-x²+4x-3＞0得，x^2-4x+3＜0，解得1＜x＜3，即，

M={x|1＜x＜3}，又f（x）=4^x-2^x+3+4=（2^x）²-8×2^x+4

令t=2^x，∵x∈（1，3），∴t∈（2，8）

f（x）=g（t）=t²-8t+4 t∈（2，8）

由配方得，g（t）=（t-4）²-12 t∈（2，8）

∴f（x）_min=g（4）=-12 又g（8）=4

故函数f（x）的值域为[-12，4）

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域．

考点点评： 本题为函数问题，（1）为定义法证明函数的单调性，（2）利用换元法，转化为二次函数在区间的最值，属基础题．