Question

如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知AB=BC=1，BB 1 = 。连接BC 1 ，过B 1

Answer 1

（1）证明：连接A ₁C ₁交B ₁D ₁于点O ₁，

在长方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中，AB⊥平面B ₁BCC ₁，

AC ₁在平面B ₁BCC ₁内的射影是BC ₁，

又B ₁E⊥BC ₁，

∴AC ₁⊥B ₁E，

已知AB=BC=1，

∴底面A ₁B ₁C ₁D ₁是正方形，

∴A ₁C ₁⊥B ₁D ₁，

又AC ₁在平面A ₁B ₁C ₁D ₁内的射影是A ₁C ₁，

AA ₁⊥平面A ₁B ₁C ₁D ₁，

∴AC ₁⊥B ₁D ₁，B ₁D ₁∩B ₁E=B ₁，

∴AC ₁⊥平面B ₁D ₁E。

（2）连接EO ₁，

在长方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中，CC ₁⊥平面A ₁B ₁C ₁D ₁，

即EC ₁⊥平面A ₁B ₁C ₁D ₁，

∴EO ₁在平面A ₁B ₁C ₁D ₁内的射影是C ₁O ₁，

又A ₁C ₁⊥B ₁D ₁，即C ₁O ₁⊥B ₁D ₁，

∴EO ₁⊥B ₁D ₁，

∴∠EO ₁C ₁为二面角E-B ₁D ₁-C ₁的平面角，

在长方形B ₁BCC ₁中，

BB ₁=

，BC=B ₁C ₁=1，B ₁E⊥BC ₁，

∠EB ₁C ₁=∠C ₁BB ₁，

∴直角△EB ₁C ₁∽直角△C ₁BB ₁，

∴

，

即EC ₁=

，

在直角△EC ₁O ₁，EC ₁=C ₁O ₁=

，

∴∠EO ₁C ₁=45°。