Question

已知函数f（x）=a-22x+1（a∈R）

Answer 1

解题思路：1）直接由函数单调性的定义加以证明；

（2）由奇函数的性质得f（0）=0，求得a的值，然后利用奇函数的定义证明a=1时函数f（x）为奇函数．

（1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=

2•2x1+2−2•2x2−2

(2x1+1)(2x2+1)=

2(2x1−2x2)

(2x1+1)(2x2+1)．

∵y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，

∴2x1-2x2＜0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0．

即f（x₁）＜f（x₂），

∴函数f（x）为R上的增函数；

（2）若函数f（x）为奇函数，

则f（0）=a-1=0，

∴a=1．

当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1．

∴f（-x）=

2−x−1

2−x+1=-f（x），

此时f（x）为奇函数，满足题意，

∴a=1．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用定义证明函数的单调性，是中档题．