解题思路：等腰梯形的两腰相等，因而BD=AC，根据将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，得到AC=BE，AD=AE，而AD=BC，则AE=BC，四边形AEBC的两组对边相等，因而是平行四边形．
四边形AEBC是平行四边形，
∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AC，BD是对角线，
∴AD=BC，AC=BD，
∵△ABD沿AB对折到△ABE，
AE=AD，
∴AE=BC，AC=BE，
∴四边形AEBC是平行四边形．
故选A．
点评：
本题考点： 等腰梯形的性质；平行四边形的判定；翻折变换（折叠问题）．
考点点评： 本题主要考查等腰梯形的性质及平行四边形的判定方法．