Question

（1）求值域：已知f（x）=2x+2-3•4x（-1＜x＜0）

Answer 1

解题思路：（1）设t=2^x，利用换元法将函数转化为一元二次函数，即可求函数的值域．

（2）设t=a^x，利用换元法将函数转化为一元二次函数，确定 函数的最大值，解方程即可，注意要进行分类讨论．

（1）∵f（x）=2^x+2-3•4^x=4•2^x-3•（2^x）²，

设t=2^x，∵-1＜x＜0，

∴[1/2]＜t＜1，

则函数等价为y=g（t）=4•t-3•t²=−3(t−

2

3)2+

4

3，

∵[1/2]＜t＜1，

∴g（1）＜g（t）≤g（[2/3]），

即1＜g（t）≤[4/3]，即函数的值域为（1，[4/3]]．

（2）函数y=a^2x+2a^x-1=（a^x）²+2a^x-1，

设t=a^x，则函数等价为f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，对称轴为t=-1，

∵-1≤x≤1，

∴若a＞1，则0＜[1/a]≤t≤a＜1，此时函数的最大值为f（a）=（a+1）²-2=14，

即（a+1）²=16，解得a+1=4或a+1=-4，

则a=3或a=-5（舍去）．

若0＜a＜1，则0＜a≤t≤[1/a]＜1，此时函数的最大值为f（[1/a]）=（[1/a]+1）²-2=14，

即（[1/a]+1）²=16，解得[1/a]+1=4或[1/a]+1=-4，

则[1/a]=3或[1/a]=-5

解得a=[1/3]或a=-[1/5]（舍去）．

综上a=[1/3]或a=3．

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义；函数的值域．

考点点评： 本题主要考查函数值域和最值的求解，利用换元法，将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．