第一数学归纳法：
设有一个与自然数n有关的命题,如果：
(1)当n取第一个自然数值n=n1(n1=1,2或其他常数)时,命题正确；
(2)假设当n取某一自然数k时命题正确,
以此推出当n=k+1时这个命题也正确.
从而就可断定命题对于从n1开始的所有自然数都成立.
第二数学归纳法：
设有一个与自然数n有关的命题,如果：
（1）当n＝1时,命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立,则当n＝k+1时,命题也成立.
那么,命题对于一切自然数n来说都成立.
由第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的,
故用反证法证明第二数学归纳法即可.
证明：假设命题不是对一切自然数都成立.命N表示使命题不成立的自然数所成的集合,显然N非空,于是,由最小数原理N中必有最小数m,那么m≠1,否则将与（1）矛盾.所以m－1是一个自然数.但m是N中的最小数,所以m－1能使命题成立.这就是说,命题对于一切≤m－1自然数都成立,根据（2）可知,m也能使命题成立,这与m是使命题不成立的自然数集N中的最小数矛盾.因此定理获证.
参考：