在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,∠ABD=∠ACD.

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  • 解题思路:(1)由∠ABC=120°,∠CBD=60°,AB=BC,易证得△ABD≌△CBD,即可得AD=CD,又由∠ACD=∠ABD=60°,可证得△ACD是等边三角形,即可证得结论;

    (2)首先延长AB到E使BE=BD,连接CE,易证得△CBD≌△CBE,可得CD=CE,∠E=∠BDC,又由∠ABD=∠ACD,可证得△CAE是等腰三角形,证得AC=CE,则可证得结论.

    (1)AC=CD.

    证明:∵∠ABC=120°,∠CBD=60°,

    ∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°,

    ∴∠ABD=∠CBD,

    在△ABD和△CBD中,

    AB=CB

    ∠ABD=∠CBD

    BD=BD,

    ∴△ABD≌△CBD(SAS),

    ∴AD=CD,

    ∵∠ACD=∠ABD=60°,

    ∴△ACD是等边三角形,

    ∴AC=CD;

    (2)成立.

    证明:延长AB到E使BE=BD,连接CE,

    则∠ABC+∠CBE=180°,

    ∵∠ABC+∠CBD=180°,

    ∴∠CBD=∠CBE,

    在△CBD和△CBE中,

    BD=BE

    ∠CBD=∠CBE

    BC=BC,

    ∴△CBD≌△CBE(SAS),

    ∴CD=CE,∠E=∠BDC,

    ∵∠ABD=∠ACD,∠AOB=∠COD,

    ∴∠BAC=∠BDC,

    ∴∠BAC=∠E,

    ∴AC=CE,

    ∴AC=CD.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.