Question

（2014•安庆三模）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=npan-np+n（n∈N*，p为常数），a1≠a2．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）在数列递推式中取n=1，求得p=1或a₁=1，取n=2得到a₁+a₂=2pa₂-2p+2，验证p=1与原题意矛盾，得到a₁=1，从而求得

p＝

1

2

；

（Ⅱ）把

p＝

1

2

代入原递推式，再取n=n-1得另一递推式，作差后证得答案．

（Ⅰ）由S_n=npa_n-np+n，

当n=1时，a₁=pa₁-p+1，

即（1-p）（1-a₁）=0，

解得p=1或a₁=1．

当n=2时，a₁+a₂=2pa₂-2p+2，

若p=1，则a₁+a₂=2a₂-2+2=2a₂，得a₁=a₂，与已知矛盾，故p≠1，

∴a₁=1，又a₁≠a₂，

∴a₂≠1．

由a₁+a₂=2pa₂-2p+2，得p＝

1

2；

（Ⅱ）证明：把p=[1/2]代入S_n=npa_n-np+n，

得2S_n=n（a_n+1）．

当n≥2时，2S_n-1=（n-1）（a_n-1+1）．

两式相减得（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0，

于是（n-1）a_n+1-na_n+1=0，

两式相减得a_n+1-a_n-1=2a_n（n≥2）．

故数列{a_n}是等差数列．

点评：

本题考点： 等差数列的性质；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了等差数列的性质，考查了证明数列为等差数列的方法，是中档题．