洛伦茨变换推导

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  • 事实一 物理定律在所有的惯性系(惯性系就是能让牛顿第一定律 狭义相对论

    成立的参考系)中都是相同的

    事实二 在所有惯性系中,真空中的光速等于恒定值c.光速大小与参考系之间的相对运动无关,也与光源、观察者的运动无关

    现在根据这两个事实,推导坐标的变换式

    设想有两个惯性坐标系分别叫S系、S'系,S'系的原点O‘相对S系的原点O以速率v沿x轴正方向运动.任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为(x,y,z,t)、(x',y',z',t').两惯性系重合时,分别开始计时

    若x=0,则x'+vt'=0.这是变换须满足的一个必要条件,故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为

    x=γ(x'+vt') (1)

    式中引入了常数γ,命名为洛伦兹因子

    (由于这个变换是猜测的,显然需要对其推导出的结论进行实验以验证其正确性)

    在此猜测上,引入相对性原理,即不同惯性系的物理方程的形式应相同.故上述事件坐标从S系到S'系的变换为

    x'=γ(x-vt) (2)

    y与y'、z与z'的变换可以直接得出,即

    y'=y (3)   z'=z (4)

    把(2)代入(1),解t'得

    t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5)

    在上面推导的基础上,引入光速不变原理,以寻求γ的取值

    设想由重合的原点O(O')发出一束沿x轴正方向的光,设该光束的波前坐标为(X,Y,Z,T)、(X',Y',Z',T').根据光速不变,有

    X=cT (6)   X’=cT' (7)   (

    1)(2)相乘得   xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'-v^2*tt') (8)

    以波前这一事件作为对象,则(8)写成

    XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'-V^2*TT') (9)

    (6)(7)代入(9),化简得洛伦兹因子

    γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10)   (10)代入(5),化简得

    t'=γ(t-vx/c^2) (11)

    把(2)、(3)、(4)、(11)放在一起,即S系到S'系的洛伦兹变换

    x'=γ(x-vt),  y'=y,  z'=z,  t'=γ(t-vx/c^2) (12)

    根据相对性原理,由(12)得S'系到S系的洛伦兹变换

    x=γ(x'+vt'),  y=y',  z=z',  t=γ(t'+vx'/c^2) (13)

    下面求洛伦兹变换下的速度变换关系

    考虑分别从S系和S'系观测一质点P的运动速度.设在S系和S'系中分别测得的速度为u(j,n,m)和u'(j',n',m')   由(12)对t'求导即得 S系到S'系的洛伦兹速度变换

    j'=(j-v)/(1-vj/c^2),  n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1],  m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14)

    根据相对性原理,由(14)得S'系到S系的洛伦兹速度变换

    j=(j'+v)/(1+vj'/c^2),  n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1],  m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15)

    洛伦兹变换结合动量定理和质量守恒定律,可以得出狭义相对论的所有定量结论.这些结论得到实验验证后,也就说明了狭义相对论的正确性