Question

棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，O为面ABCD的中心．

Answer 1

解题思路：（1）利用正方体的性质可得AB⊥B₁C，由正方形的性质可得B₁C⊥BC₁．再利用线面垂直的判定可得B₁C⊥AC₁，同理可得AC₁⊥CD₁，利用线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2））由CC₁∥平面BB₁D₁D，可得点C₁到平面BOD₁的距离与点C到此平面的距离相等，利用“等体积变形”即可得到∴

V

四面体OB

C

1

D

1

=

V

C

1

−BO

D

1

=

V

C−BO

D

1

，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．

（3）利用面面平行的性质即可得出结论．

（1）证明：由正方体可得AB⊥平面BCC₁B₁，

∴AB⊥B₁C．

由正方形BCC₁B₁可得B₁C⊥BC₁．

而AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁，

∴B₁C⊥AC₁．

同理可证，CD₁⊥AC₁，

又CB₁∩CD₁=C，∴AC₁⊥平面B₁CD₁；

（2）∵CC₁∥平面BB₁D₁D，∴点C₁到平面BOD₁的距离与点C到此平面的距离相等，

∴V四面体OBC1D1=VC1−BOD1=VC−BOD1=[1/3S△BOD1×OC=

1

3×

1

2×

2a

2×a×

2a

2]=

a3

12．

（3）由正方体可得平面ABB₁A₁∥平面CC₁D₁D，故过点A₁与平面CC₁D₁D平行的直线只能在平面ABB₁A₁内，

因此在线段AC上除了点A外不存在其它点P，使得A₁P∥面CC₁D₁D．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 熟练掌握方体的性质、正方形的性质、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的性质定理、“等体积变形”、三棱锥的体积计算公式、面面平行的性质定理是解题的结论．