Question

如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．

Answer 1

如图所示，

（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；

则AB=2

（其中0＜x＜30），

∴S=2x

=2

≤x ²+（900﹣x ²）=900，当且仅当x ²=900﹣x ²，

即x=15

时，S取最大值900；

所以，取BC=

cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm ²．

【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的 面积为S，

则BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜

）；

∴S=AB●BC=2OB●BC=900sin2θ，且当sin2θ=1，

即θ=

时，S取最大值为900，此时BC=15

；

所以，取BC=15

时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm ²．

（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，

由AB=2

=2πr，得r=

，

∴V=πr ²h=

（900x﹣x ³），（其中0＜x＜30）；

由V′=

（900﹣3x ²）=0，得x=10

；

因此V=

（900x﹣x ³）在

上是增函数，在（10

，30）上是减函数；

∴当x=10

时，V的最大值为

，

即取BC=10

cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为

cm ³．

【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，

则圆柱的底面半径为r=

，高h=30sinθ，（其中0＜θ＜

），

所以V=πr ²h=

cos2θ=

（sinθ﹣sin3θ），

设t=sinθ，则V=

（t﹣t ³），

由V′=

（1﹣3t ²）=0，得t=

，

因此V=

（t﹣t ³）在（0，

）上是增函数，在（

，1）上是减函数；

所以，当t=

时，即sinθ=

，此时BC=10

cm时，V有最大值，为

cm ³．