Question

已知函数f（x）=x2+ax+3，g（x）=（6+a）•2x-1

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由f（1）=f（3）计算即得a的值；

（Ⅱ）g（x）=2x，F（X）=

2

1+

2

x

，先判断F（x）在R上是减函数，然后用定义证；

（Ⅲ）x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立转化为x²+ax+3-a≥0在x∈[-2，2]∉（-4，4）恒成立，令h（x）=x²+ax+3-a，求出h（x）在[-2，2]上的最小值，只需最小值不小于0．然后讨论对称轴和区间的关系，求出最小值，解出a的范围，最后求并集．

（Ⅰ）因为函数f（x）=x²+ax+3，f（1）=f（3），

即1+a+3=9+3a+3，所以a=-4；

（Ⅱ）因为g（x）=2•2^x-1=2^x，

所以F（X）=

2

1+2x在R上是减函数．

理由如下：设x1＜x2，

F（x₁）-F（x₂）=

2

1+2x1-

2

1+2x2=2•

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)，

因为x1＜x2，所以2x1＜2x2⇒2x2-2x1＞0，

所以F（x₁）-F（x₂）＞0即F（x₁）＞F（x₂），

故F（X）=

2

1+2x在R上是减函数．

（Ⅲ）x∈[-2，2]时，f（x）≥a（a∉（-4，4））恒成立

等价于x²+ax+3-a≥0在x∈[-2，2]∉（-4，4）恒成立，

令h（x）=x²+ax+3-a，x²+ax+3-a≥0恒成立⇔h（x）_min≥0，

因为h（x）图象关于x=-

a/2]对称，

又因为a∉（-4，4），所以-

a

2∉(-2，2)，

①当-

a

2≤-2即a≥4时，[-2，2]是增区间，故h（x）_min=h（-2）=7-3a≥0⇒a≤[7/3]，

又因为a≥4，所以a∈Φ；

②当-

a

2≥2即a≤-4时，[-2，2]是减区间，故h（x）_min=h（2）=a+7≥0⇒a≥-7，

又因为a≤-4，所以-7≤a≤-4．

综上a的取值范围是-7≤a≤-4．

故实数a的最小值是-7．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性及其应用求最值，考查学生数形结合的能力和分类讨论的思想方法．