f(2-x)+2f(x-3)=x.求f(x) f(x)+2f(-x)=x.求f(x)

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  • 第一小题:

    我们的思路是,通过适当设置x的值,找到和原方程共轭的方程,即f(x-3)+2f(2-x)=c(x)

    再将原方程和这个方程联立即解得f(2-x)或f(x-3),进而得到f(x)的表达式,具体步骤如下:

    设2-t=x-3,则t=5-x,用t代替x带入原方程得:

    f(2-t)+2f(t-3)=t,把t=5-x带入该式得:f(x-3)+2f(2-x)=5-x.

    将f(x-3)+2f(2-x)=5-x与f(2-x)+2f(x-3)=x联立解得:f(x-3)=x-5/3

    将y=x+3代入上式得:f(y)=y+4/3,故f(x)=x+4/3

    第二小题:

    用与第一小题同样的思路,令t=-x,先将t代换原式中的x,得:f(t)+2f(-t)=t

    再将t=-x带入该式得:f(-x)+2f(x)=-x.

    将f(-x)+2f(x)=-x与f(x)+2f(-x)=x联立解得:f(x)=-x