Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝12，an+2SnSn-1=0（n≥2）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）数列

{

1

S

n

}

是以2为首项，2为公差的等差数列，利用数列递推式，可得

1

S

n

-

1

S

n−1

=2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

S

n

=2+2（n-1）=2n，可得S_n的值，进而可求a_n．

（Ⅰ）数列{

1

Sn}是以2为首项，2为公差的等差数列．证明如下：

∵n≥2时，a_n+2S_nS_n-1=0，∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0

∴

1

Sn-

1

Sn−1=2

∵a1＝

1

2，∴

1

S1=2

∴数列{

1

Sn}是以2为首项，2为公差的等差数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

Sn=2+2（n-1）=2n，∴S_n=

1

2n；

∵n≥2时，a_n+2S_nS_n-1=0，

∴a_n=-2×

1

2n×

1

2(n−1)=

1

2n(1−n)

∴a_n=

1

2，n＝1

1

2n(1−n)，n≥2．

点评：

本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的求和与通项，正确运用数列递推式是关键．