（1） α=
π
3 时， f(x)=
1
2 a x 2 -
3
2 x ．
①当a=0时， f(x)=-
3
2 x ，不合题意； [1，2]⊆[
3
2a ，+∞)
②当a＜0时， f(x)=
1
2 a x 2 -
3
2 x 在 (-∞，
3
2a ] 上递增，在 [
3
2a ，+∞) 上递减，而，故不合题意；
③当a＞0时， f(x)=
1
2 a x 2 -
3
2 x 在 (-∞，
3
2a ] 上递减，在 [
3
2a ，+∞) 上递增，
f（x）在[1，2]上的最大值是max{f（1），f（2）}=f（2），所以f（1）≤f（2），即
1
2 a-
3
2 ≤2a-3 ，所以a≥1．
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（2）a=1时， F(x)=
1
2 x 2 -2xsi n 2 α+lnx 定义域为（0，+∞）， F / (x)=x+
1
x -2si n 2 α≥2-2si n 2 α=2co s 2 α≥0 ．
①当cosα≠0时，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上单调递增，从而F（x）在其定义域内没有极值；
②当cosα=0时， F / (x)=x+
1
x -2=
(x-1) 2
x ，令F′（x）=0有x=1，但是x∈（0，1）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）也单调递增，所以F（x）在其定义域内也没有极值．
综上，F（x）在其定义域内没有极值．
（3）据题意可知，令 F / (x)=ax+
1
x -2si n 2 α=0 ，即方程ax 2-2xsin 2α+1=0在（0，+∞）上恒有两个不相等的实数根．即
△=4 sin 4 α-4α＞0
α＞0 恒成立，因为 α∈[
π
6 ，
2
3 π) ， sinα∈[
1
2 ，1] ，所以 0＜a＜
1
16 ．