解题思路:(1)把点A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值,即可得到抛物线解析式,再整理成顶点式形式,然后写出顶点D的坐标;
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可;
(3)求出点D关于直线x=3的对称点D′,根据轴对称确定最短路线问题,连接D′N与直线x=3的交点即为所求的点M,然后利用待定系数法求出直线D′N的解析式,再令x=3求解即可得到m的值;
(4)求出点B的坐标为(1,2),然后令y=0解方程得到x的值,即可得到左右平移的单位,根据点B、D的纵坐标可得向下平移的单位数.
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3),
∴
−1−b+c=0
−4+2b+c=3,
解得
b=2
c=3,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4);
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
−k+b=0
2k+b=3,
解得
k=1
b=1,
∴直线AC的解析式为y=x+1;
(3)∵点D(1,4),点(3,m)在直线x=3上,
∴点D关于直线x=3的对称点D′坐标为(5,4),
令x=0,则y=3,
所以,点N的坐标为(0,3),
设直线D′N的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题是二次函数综合题型,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,轴对称确定最短路线问题,二次函数图象与几何变换,难点在于(3)掌握点M的位置的确定方法.