Question

圆锥曲线问题椭圆方程（如图1）,设ADM是椭圆上的三点,且三点都不在椭圆顶点上,且满足（如图2）,证明直线OA OD 的

Answer 1

用参数方程简单一点,设A（2cost1,sint1),D(2cost2,sint2)

利用OM=mOA+nOD,带入A D两点的坐标解得

M(2mcost1+2ncost2,msint1+nsint2)

因为M也在椭圆上,把M的坐标带入椭圆方程并整理得到：

m^2+n^2+2mncos(t1-t2)=1

因为m^2+n^2=1,

所以得到cos(t1-t2)=0.

因为斜率之积Koa*Kod=(sint1/2cost1)*(sint2/2cost2)=(1/4)(sint1sint2/cost1cost2)

那么Koa*Kod+(1/4)=(1/4)(sint1sint2/cost1cost2)+(1/4)=(1/4)cos(t1-t2)/cost1cost2=0

所以Koa*Kod=-1/4

是个定值