Question

设椭圆M：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B

Answer 1

（Ⅰ）根据题意可得：

2a＝6

2

c

a＝

2

2

b2＝a2−c2⇒

a＝3

2

c＝3

b＝3

所求椭圆M的方程为

x2

18+

y2

9＝1（4分）

（Ⅱ）当θ≠

π

2，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），

则直线AB的方程为y=k（x-3）

有

y＝kx−3k

x2

18+

y2

9＝1⇒（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0

设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

有x₁+x₂=

12k2

1+2k2，x₁x₂=

18(k2−1)

1+2k2

|AB|=

(1+k2)[(

12k2

1+2k2)2−4×

18(k2−1)

1+2k2]＝

6

2(1+k2)

1+2k2**（6分）

又因为k=tanθ=

sinθ

cosθ代入**式得

|AB|=

6

2

cos2θ+sin2θ＝

6

2

1−sin2θ+2sin2θ＝

6

2

1+sin2θ（8分）

当θ=

π

2时，直线AB的方程为x=3，

此时|AB|=3

2（10分）

而当θ=

π

2时，|AB|=

6

2

1+sin2θ=3

2

综上所述所以|AB|=

6

2