解题思路：（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D，易证△ACO≌△ODB，就可以求出OD，BD的长，可以得到B点的坐标．
（2）已知A，O，B三点的坐标，利用待定系数法，就可以求出抛物线的解析式．
（3）△PAB的面积等于△AOB的面积，则P点到AB的距离等于O到AB的距离，即△AOB AB边上的高线长．则过点O作AB的平行线，与抛物线的对称轴的交点，以及这点关于F的对称点就是所求的点．
（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴，垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90度．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD．（1分）
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（2分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．（4分）
（2）因抛物线过原点，
故设所求抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
将A（-3，1），B（1，3）两点代入得，
a+b＝3
9a−3b＝1，
解得a＝
5
6；b＝
13
6．（6分）
故所求抛物线的解析式为：y＝
5
6x2+
13
6x．（8分）
（3）设直线AB的方程为y=kx+b1，那么有：
−3k+b1＝1
k+b1＝3，
解得k＝
1
2，b1＝
5
2．
故直线AB的方程为：y＝
1
2x+
5
2．
∴OE＝
5
2．（9分）
抛物线y＝
5
6x2+
13
6x的对称轴l的方程是：x＝−
b
2a＝−
13
10，
y＝
1
2x+
5
2
x＝−
13
10，
解得
x＝−
13
10
y＝
37
20．
∴F点坐标为(−
13
10，
37
20)．（10分）
∵l∥y轴，△PAB的面积等于△ABO的面积，
∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离．
即OG=P1H=P2M（P点有两种情况）．
则过原点O与AB平行的直线的解析式是y=[1/2]x．
函数y=[1/2]x与抛物线的交点坐标是即P1(−
13
10，−
13
20)，
而P1关于F点的对称点P2(−
13
10，
87
20)．也是满足条件的点．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题利用了全等三角形的性质，以及待定系数法求函数的解析式．