Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当2≤x≤6时，f（x）=（ 1 2 ） |x-m| +n，f（4）

Answer 1

（1）因为函数f（x）在R上满足f（x）=f（x+4），

所以4是函数f（x）的一个周期．

可得f（2）=f（6），即

1

2 |2-m| +n= (

1

2 ) |6-m| +n，①

又f（4）=31，

1

2 |4-m| +n=31，②

联立①②组成方程组解得m=4，n=30．

（2）由（1）知，函数f（x）= (

1

2 ) |x-4| +30，x∈[2，6]．

因为1＜log ₃4＜2，所以5＜log ₃4+4＜6．

f（log ₃m）=f（log ₃4）=f（log ₃4+4）

=

1

2 | log 34 +4-4| +30

=（

1

2 ） ^|log34|+30．

又因为3＜log ₃30＜4，

f(lo g 3 n)=f(lo g 3 30)=(

1

2 ) | log 3 30-4| +30

= (

1

2 ) 4- log 3 30 +30=(

1

2 ) log3

81

30 +30.

因为lo g 3

81

30 ＜lo g 3 4

⇒(

1

2 ) log 3 4 ＜(

1

2 ) log3

81

30 ⇒(

1

2 ) log 3 4 +30＜(

1

2 )log3

81

30 +30.

所以f（log ₃m）＜f（log ₃n）．