Question

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PD⊥平面ABCD,在这个四棱锥中放一个球,求球的最大半

Answer 1

设内切球心为O,连结OP、OA、OB、OC、OD,

设球半径r,

根据三垂线定理,AB⊥PA,BC⊥PC,侧面是4个直角三角形,

PA=√2a,PC=√2a,

VP-ABCD=a^2*a/3=a^3/3,

VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PDC+VO-PAD

a^3/3=a^2r/3+(√2a*a*r/2)/3+(√2a*a*r/2)/3+(a*a/2)*r/3+(a*a/2)*r/3,

∴r=(2-√2）a/2.