Question

已知各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn,an,1/2成等差数列

Answer 1

由题意

2an=Sn+1/2

Sn=2an-1/2

n=1时,S1=a1

a1=2a1-1/2

a1=1/2

S(n+1)-Sn=a(n+1)

2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1)

a(n+1)=2an

因此{an}是等比数列,首项1/2,公比2

an=（1/2）*2^(n-1)

=2^(n-2)

Sn,an,1/2成等差数列

2an=1/2+Sn 2an-1=1/2+Sn-1

2a1＝1/2+S1＝1/2+a1 a1＝1/2

2an-2an-1=1/2+Sn-1/2-Sn-1=an

an/an-1＝2

所以｛an｝是以a1＝1/2 q＝2的等比数列

an＝1/2×2^n＝2^(n-1)

an^2=2^(-bn)

2^2（n-2)=2^(-bn)

bn=4-2n

cn=bn/an=(4-2n)/2^(n-2)

下面错位相减求和:

2cn=(4-2n)/2^(n-1）

……

2c1=（4-2*1）/2^0

Tn=（2c1+……+2cn）-（c1+……cn）

=2*[1/2^0+1/2^1+……+1/2^(n-2)]+(4-2n)/2^(n-1)-(4-2*1)/2^(-1)

=2*(1-1/2^(n-2))+(4-2n)/2^(n-1)-4

=(3-2n)/2^(n-1)-2