Question

线性代数A为3X4矩阵,R(A)=3,β1,β2为非齐次方程组Ax=b的两个不同的解,则Ax=b任意一个解均可表示为 （

Answer 1

A为3X4矩阵,R(A)=3,所以Ax=0的基础解系维数为n-r(A)=4-3=1,即只含一个线性无关解向量

由解的结构性质

β1,β2为非齐次方程组Ax=b的两个不同的解,所以β1-β2,是Ax=0的非零解向量.由于Ax=0基础解系只含一个线性无关解向量,β1-β2就可以作为该基础解系

则Ax=0的通解为k(β1-β2),Ax=b的通解是Ax=0的通解加Ax=b一个特解,取β1为特解

所以Ax=b的通解为k(β1-β2)+β1.

即Ax=b任意一个解均可表示为 k(β1-β2)+β1