Question

已知a，b为两个正数，且a>b，设 ，当n≥2，n∈N*时， 。

Answer 1

（1）证明：易知对任意n∈N*，a _n>0，b _n>0

由a≠b，可知

，即a ₁>b ₁
同理，

，即a ₂>b ₂
可知对任意n∈N*，a _n>b _n

所以数列{a _n}是递减数列

所以数列{b _n}是递增数列。

（2）证明：

。

（3）由

可得

若存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|a _n-b _n|>C，

则对任意n∈N*，

即

对任意n∈N*成立，

即

对任意n∈N*成立，

设[x]表示不超过x的最大整数，

则有

即当

时，

与

对任意n∈N*成立矛盾

所以，不存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|a _n-b _n|>C。