Question

某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 5 ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p

Answer 1

事件A _i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3，由题意知 P( A 1 )=

4

5 ，P（A ₂）=p，P（A ₃）=q

（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 1-P(ξ=0)=1-

6

125 =

119

125 ，

（II）由题意知 P(ξ=0)=P(

.

A 1

.

A 2

.

A 3 )=

1

5 (1-p)(1-q)=

6

125

P(ξ=3)=P( A 1 A 2 A 3 )=

4

5 pq=

24

125

整理得 pq=

6

125 ，p+q=1

由p＞q，可得 p=

3

5 ， q=

2

5 ．

（III）由题意知 a=P(ξ=1)=P( A 1

.

A 2

.

A 3 )+P(

.

A 1 A 2

.

A 3 )+P(

.

A 1

.

A 2 A 3 )

=

4

5 (1-p)(1-q)+

1

5 p(1-q)+

1

5 (1-p)q =

37

125

d=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

58

125

Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2P（ξ=2）+3P（ξ=3）=

9

5

故所求数学期望为

9

5 ．