设直线3x+4y-5=0与圆C1:x2+y2=4交于A,B两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在

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  • 解题思路:先根据圆C1的方程找出圆心坐标与半径R的值,找出圆C2的半径的最大时的情况:当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时,圆c2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧

    AB

    上,设切点为P,此时圆C2的半径r的最大.求r的方法是,联立直线与圆的方程,消去y后得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理求出Q的横坐标,把Q的横坐标代入直线方程即可求出Q的纵坐标,得到Q的坐标,利用两点间的距离公式求出两圆心的距离OQ等于d,然后根据两圆内切时,两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C2的半径最大值.

    由圆C1:x2+y2=4,可得圆心O(0,0),半径R=2

    如图,当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时,圆c2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧

    AB上,设切点为P,此时圆C2的半径r的最大.

    联立直线与圆的方程得

    3x+4y−5=0

    x2+y2=4,消去y得到25x2-30x-39=0,

    设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=[6/5],所以线段AB的中点Q的横坐标为[3/5],把x=[3/5]代入直线方程中解得y=[4/5],

    所以Q([3/5],[4/5]),则两圆心之间的距离OQ=d=

    (

    3

    5)2+(

    4

    5)2=1,

    因为两圆内切,所以圆c2的最大半径r=R-d=2-1=1

    故答案为:1

    点评:

    本题考点: 圆与圆的位置关系及其判定.

    考点点评: 此题考查学生掌握两圆内切时两半径所满足的条件,灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值,是一道中档题.