假设DEF的外接圆方程为E(X^2 +Y^2)+FX+DY+G=0
需要证明的是矩阵P
(X_A ^2 +2X_A X_B+x_B ^2)/4 *[1+1/（X_A *x_B）^2] (x_A+ X_B)/2 (x_A+ X_B)/ [2x_A X_B] 1
(X_B ^2 +2X_C X_B+x_C ^2)/4 *[1+1/（X_B *x_C）^2] (x_C+ X_B)/2 (x_C+ X_B)/ [2x_C X_B] 1
(X_A ^2 +2X_C X_A+x_C ^2)/4 *[1+1/（X_A *x_C）^2] (x_A+ X_C)/2 (x_A+ X_C)/ [2x_A X_C] 1
0 0 0 1
的行列式等于0.
也就是说明矩阵Q：
(X_A ^2 +2X_A X_B+x_B ^2)/4 *[1+1/（X_A *x_B）^2] (x_A+ X_B)/2 (x_A+ X_B)/ [2x_A X_B]
(X_B ^2 +2X_C X_B+x_C ^2)/4 *[1+1/（X_B *x_C）^2] (x_C+ X_B)/2 (x_C+ X_B)/ [2x_C X_B]
(X_A ^2 +2X_C X_A+x_C ^2)/4 *[1+1/（X_A *x_C）^2] (x_A+ X_C)/2 (x_A+ X_C)/ [2x_A X_C]
的行列式为0
经过变换也就是说明矩阵R
（x_A +X_B）*(（X_A*X_B）^2 +1) （X_A*X_B）^2 X_A*X_B
（x_C+X_B）*(（X_C*X_B）^2 +1) （X_C*X_B）^2 X_C*X_B
（x_A +X_C）*(（X_A*X_C）^2 +1) （X_A*X_C）^2 X_A*X_C
的行列式等于0.
再经过变换得到S
x_A +X_B （X_A*X_B）^2 X_A*X_B
x_C+X_B （X_C*X_B）^2 X_C*X_B
x_A +X_C （X_A*X_C）^2 X_A*X_C
上面矩阵的行列式=
x_A *X_B *X_C *[Σcyc （x_B ^2 -X_A ^2 ）*X_C ^2] =0
所以|P|=0
也就是说明三个中点以及原点带入E(X^2 +Y^2)+FX+DY+G=0系数行列式=0 也就是说E F D G有非零解,说明四点共圆.所以结论证毕.