(2012•天津模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,

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  • 解题思路:(Ⅰ)连接OM,BD,由M,O分别为PD和AC中点,知OM∥PB,由此能够证明PB∥平面ACM.

    (Ⅱ)由PO⊥平面ABCD,知PO⊥AD,由∠ADC=45°,AD=AC=1,知AC⊥AD,由此能够证明AD⊥平面PAC.

    (Ⅲ)取DO中点N,连接MN,由MN∥PO,知MN⊥平面ABCD.过点N作NE⊥AC于E,由E为AO中点,连接ME,由三垂线定理知∠MEN即为所求,由此能求出二面角M-AC-D的正切值.

    (Ⅰ)证明:连接OM,BD,

    ∵M,O分别为PD和AC中点,

    ∴OM∥PB,

    ∵OM⊂平面ACM,PB⊄ACM平面,

    ∴PB∥平面ACM….(4分)

    (Ⅱ)证明:由已知得PO⊥平面ABCD

    ∴PO⊥AD,

    ∵∠ADC=45°,AD=AC=1,

    ∴AC⊥AD,

    ∵AC∩PO=O,AC,PO⊂平面PAC,

    ∴AD⊥平面PAC.…..(8分)

    (Ⅲ)取DO中点N,连接MN,则MN∥PO,

    ∴MN⊥平面ABCD

    过点N作NE⊥AC于E,则E为AO中点,

    连接ME,由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M-AC-D的平面角,

    ∵MN=1,NE=[1/2]

    ∴tan∠MEN=2…..(13分)

    点评:

    本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明,考查二面角的正切值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意三垂直线定理的合理运用.