解题思路:(Ⅰ)连接OM,BD,由M,O分别为PD和AC中点,知OM∥PB,由此能够证明PB∥平面ACM.
(Ⅱ)由PO⊥平面ABCD,知PO⊥AD,由∠ADC=45°,AD=AC=1,知AC⊥AD,由此能够证明AD⊥平面PAC.
(Ⅲ)取DO中点N,连接MN,由MN∥PO,知MN⊥平面ABCD.过点N作NE⊥AC于E,由E为AO中点,连接ME,由三垂线定理知∠MEN即为所求,由此能求出二面角M-AC-D的正切值.
(Ⅰ)证明:连接OM,BD,
∵M,O分别为PD和AC中点,
∴OM∥PB,
∵OM⊂平面ACM,PB⊄ACM平面,
∴PB∥平面ACM….(4分)
(Ⅱ)证明:由已知得PO⊥平面ABCD
∴PO⊥AD,
∵∠ADC=45°,AD=AC=1,
∴AC⊥AD,
∵AC∩PO=O,AC,PO⊂平面PAC,
∴AD⊥平面PAC.…..(8分)
(Ⅲ)取DO中点N,连接MN,则MN∥PO,
∴MN⊥平面ABCD
过点N作NE⊥AC于E,则E为AO中点,
连接ME,由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M-AC-D的平面角,
∵MN=1,NE=[1/2]
∴tan∠MEN=2…..(13分)
点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明,考查二面角的正切值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意三垂直线定理的合理运用.