Question

设f（x）= a• 2 x -1 2 x +1 是R上的奇函数．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数

∴f（0）=

a• 2 0 -1

2 0 +1 =0，解之得a=1

检验：当a=1时，f（x）=

2 x -1

2 x +1 ，

得f（-x）=

2 -x -1

2 -x +1 =

1- 2 x

1+ 2 x =-f（x）成立，故a=1符合题意．

（2）令y=

2 x -1

2 x +1 =1-

2

2 x +1 ，可得2 ^x=

2

1-y -1=

1+y

1-y

∴x=log ₂

1+y

1-y ，可得f（x）=

2 x -1

2 x +1 的反函数为y=log ₂

1+x

1-x ，

∵函数g（x）图象与f（x）图象关于直线y=x对称，

∴函数y=g（x）是函数f（x）的反函数，故g（x）=log ₂

1+x

1-x ．

（3）g（x）＞log ₂（1+x），即

1+x

1-x ＞0

1+x＞0

1+x

1-x ＞1+x ，

解这个不等式组，得0＜x＜1，原不等式的解集是（0，1）