解题思路:(1)直接令f(0)=0,求解a的值;
(2)首先,求导数,然后,令导数为非负数,求实数a的取值范围.
(1)令f(0)=0,
∴(2a+1)×1+(a2-1)×1=0,
∴a=-2或a=0.
(2)∵f'(x)=(2a+1)ex-(a2-1)e-x
令f'(x)≥0,
∴
(2a+1)e2x−(a2−1)
ex≥0,
∴(2a+1)e2x-(a2-1)≥0,
当a=-[1/2]时,不符合题意,舍去
所以2a+1≠0,
∴e2x≥
a2−1
2a+1,
∵使得f(x)在R上是增函数,
∴
a2−1
2a+1≤0,
∴a≤-1或-[1/2]<a≤1,
∴存在实数a,使得f(x)在R上是增函数,实数a的取值范围(-∞,-1]∪(-[1/2],1];
点评:
本题考点: 指数函数综合题;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质.
考点点评: 本题重点考查函数的奇偶性及其应用,注意奇函数的有关性质,掌握函数的单调性与导数之间的关系,属于中档题.