Question

求幂级数∞n＝1（-1）nxnn的和函数及收敛域

Answer 1

由

lim

n→∞|

(?1)n+1

xn+1

n+1

(?1)n

xn

n|=|x|＜1可得，级数

∞

n＝1(?1)n

xn

n的收敛半径为1．

当x=-1时，

∞

n＝1(?1)n

xn

n=

∞

n＝1

1

n，发散；

当x=1时，[1/n]单调减少且收敛于0，故级数

∞

n＝1(?1)n

xn

n=

∞

n＝1(?1)n

1

n收敛，

从而级数

∞

n＝1(?1)n

xn

n的收敛域为：（-1，1]．

因为

xn

n=

∫x0tn?1dt，所以

∞

n＝1(?1)n

xn

n=

∞

n＝1(?1