1、如图1,梯形ABCD中,AD∥ BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒.
当t= 时,四边形是平行四边形；6
当t= 时,四边形是等腰梯形. 8
2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为 5
3、如图,在 中, , ．点 是 的中点,过点 的直线 从与 重合的位置开始,绕点 作逆时针旋转,交 边于点 ．过点 作 交直线 于点 ,设直线 的旋转角为 ．
（1）①当 度时,四边形 是等腰梯形,此时 的长为 ；
O
E
C
B
D
A
l
O
C
B
A
（备用图）
②当 度时,四边形 是直角梯形,此时 的长为 ；
（2）当 时,判断四边形 是否为菱形,并说明理由．
（1）①30,1；②60,1.5；
（2）当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2 . ∴AO= = .在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2.
∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形,
∴四边形EDBC是菱形
A
C
B
E
D
N
M
图3
A
B
C
D
E
M
N
图2
4、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
C
B
A
E
D
图1
N
M
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.
（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB
② ∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD,CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE
(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD,CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN旋转到图3的位置时,DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等)
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE, 又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点． ,且EF交正方形外角 的平行线CF于点F,求证：AE=EF．
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证 ,所以 ．
在此基础上,同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由；
（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由．
A
D
F
C
G
E
B
图1
（1）正确．
A
D
F
C
G
E
B
M
证明：在 上取一点 ,使 ,连接 ．
． , ．
是外角平分线, , ．
．
A
D
F
C
G
E
B
图2
, ,
． （ASA）． ．
（2）正确．
证明：在 的延长线上取一点 ．使 ,连接 ．
A
D
F
C
G
E
B
图3
A
D
F
C
G
E
B
N
． ．
四边形 是正方形, ．
． ．
（ASA）．
．
6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动,设P的运动时间为t.
求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；（2）△ PAB为直角三角形的t值；
（3） 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变,直接写出△ PAB为直角三角形的t值
7、在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E为AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F.AB=4,BC=6, ∠ B=60°.
（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN‖AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x
①当点N在线段AD上时,△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长；若改变,请说明理由
②当点N在线段DC上时,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的X的值,若不存在,请说明理由.
① ②1°
① ②1° 2°
3° 2° 3°
8、如图,已知 中, 厘米, 厘米,点 为 的中点．
(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后, 与 是否全等,请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使 与 全等?
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿 三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在 的哪条边上相遇?
A
Q
C
D
B
P
（1）①∵ 秒, ∴ 厘米,
∵ 厘米,点 为 的中点, ∴ 厘米．
又∵ 厘米, ∴ 厘米, ∴ ．
又∵ , ∴ , ∴ ．
②∵ , ∴ , 又∵ , ,则 ,
∴点 ,点 运动的时间 秒, ∴ 厘米/秒.
（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇, 由题意,得 ,解得 秒．
∴点 共运动了 厘米． ∵ ,∴点 、点 在 边上相遇,
∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇．
7、如图1,在等腰梯形 中, , 是 的中点,过点 作 交 于点 ． , .求：（1）求点 到 的距离；
（2）点 为线段 上的一个动点,过 作 交 于点 ,过 作 交折线 于点 ,连结 ,设 .
①当点 在线段 上时（如图2）, 的形状是否发生改变?若不变,求出 的周长；若改变,请说明理由；
②当点 在线段 上时（如图3）,是否存在点 ,使 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 的值；若不存在,请说明理由
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
解（1）如图1,过点 作 于点 ∵ 为 的中点, ∴
在 中, ∴ ∴
图1
A
D
E
B
F
C
G
即点 到 的距离为
（2）①当点 在线段 上运动时, 的形状不发生改变．
∵ ∴
∵ ∴ , 同理
如图2,过点 作 于 ,∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴ ∴
∴ 则
在 中,
∴ 的周长=
②当点 在线段 上运动时, 的形状发生改变,但 恒为等边三角形．
当 时,如图3,作 于 ,则
类似①, ∴ ∵ 是等边三角形,∴
此时,
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F（P）
C
M
N
G
G
R
G
当 时,如图4,这时 此时,
当 时,如图5, 则 又
∴ 因此点 与 重合, 为直角三角形．
∴ 此时,
综上所述,当 或4或 时, 为等腰三角形．