Question

设f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，定义：若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），且方程f″

Answer 1

解题思路：（1）根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x的值，由此求得函数g（x）的对称中心．

（2）由导函数的导函数等于0求出x的值，可得g（x₀）+f（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2，从而得到g（[1/2015]）+g（[2/2015]）+g（[3/2015]）+…+g（[2014/2015]）的值．

（1）∵g（x）=[1/3x3−

1

2x2+3x−

5

12]，

又g′（x）=x²-x+3，g″（x）=2x-1，

令g″（x）=0得x=[1/2]，∴g（[1/2]）=[1/3×(

1

2)3−

1

2×(

1

2)2+3×

1

2−

5

12]=1

故函数g（x）的对称中心为（[1/2]，1）．

（2）设P（x₀，y₀）在g（x）上可知P关于对称点（[1/2]，1）的对称点g（1-x₀，2-y₀）也在函数g（x）上，

∴g（1-x₀）=2-y₀

∴g（x₀）+g（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2，

∵g（[1/2015]）+g（[2/2015]）+…+g（[2014/2015]）

=[g（[1/2015]）+g（[2014/2015]）]+…+[g（[2007/2015]）+g（[2008/2015]）]=2×1007=2014．

点评：

本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于基础题．