Question

已知点O为矩形ABCD内任意点证：OA平方+OC平方=OB平方OD平方若点O在四边形外,该式是否成立

Answer 1

一、当O在ABCD内部时,

过O作AB的垂线交AB、CD于E、F,再过O作BC的垂线交BC、AD于G、H.

OA^2＝AH^2＋OH^2＝OE^2＋OH^2,　OC^2＝OG^2＋GC^2＝OG^2＋OF^2

∴OA^2＋OC^2＝OE^2＋OH^2＋OG^2＋OF^2······①

OB^2＝BG^2＋OG^2＝OE^2＋OG^2,　OD^2＝OF^2＋DF^2＝OF^2＋OH^2

∴OB^2＋OD^2＝OE^2＋OG^2＋OF^2＋OH^2······②

由①、②得：OA^2＋OC^2＝OB^2＋OD^2.

二、当O在ABCD外部时,

过O作AB的垂线交AB、CD的延长线于J、K,再过O作BC的垂线交AD、BC于M、N.

OA^2＝AM^2＋OM^2,　OC^2＝ON^2＋NC^2＝ON^2＋MD^2

∴OA^2＋OC^2＝AM^2＋OM^2＋ON^2＋MD^2······③

OB^2＝BN^2＋ON^2＝AM^2＋ON^2,　OD^2＝OM^2＋MD^2

∴OB^2＋OD^2＝AM^2＋ON^2＋OM^2＋MD^2······④

由③、④得：OA^2＋OC^2＝OB^2＋OD^2.

可见当O在四边形外时,OA^2＋OC^2＝OB^2＋OD^2也成立.

［注：原题中漏写了一个符号］