解题思路:(1)首先设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,表示出M,N的运动路程,N的运动路程比M的运动路程多12cm,列出方程求解即可;(2)根据题意设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,然后表示出AM,AN的长,由于∠A等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形;(3)首先假设△AMN是等腰三角形,可证出△ACM≌△ABN,可得CM=BN,设出运动时间,表示出CM,NB,NM的长,列出方程,可解出未知数的值.
(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,
x×1+12=2x,
解得:x=12;
(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,如图①,
AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t,
∵三角形△AMN是等边三角形,
∴t=12-2t,
解得t=4,
∴点M、N运动4秒后,可得到等边三角形△AMN.
(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,
由(1)知12秒时M、N两点重合,恰好在C处,
如图②,假设△AMN是等腰三角形,
∴AN=AM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB,
∵AB=BC=AC,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B,
在△ACM和△ABN中,
∵
AC=AB
∠C=∠B
∠AMC=∠ANB,
∴△ACM≌△ABN,
∴CM=BN,
设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,
∴CM=y-12,NB=36-2y,CM=NB,
y-12=36-2y,
解得:y=16.故假设成立.
∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形,此时M、N运动的时间为16秒.
点评:
本题考点: 等边三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
考点点评: 此题主要考查了等边三角形的性质及判定,关键是根据题意设出未知数,理清线段之间的数量关系.