Question

已知x，y∈R，且满足2x2+y2=6x，那么x2+y2+2x的最大值为______．

Answer 1

解题思路：直接由2x²+y²=6x代入x²+y²+2x，通过二次函数的最值，求出它的最大值．

2x²+y²=6x化为y²=6x-2x²，y∈[0，[9/2]]，x∈[0，3]，

所以x²+y²+2x=8x-x²，

二次函数开口向下，当x=4时表达式取得最大值，因为4∉[0，3]，

所以表达式在x∈[0，3]上是增函数，

所以x=3时此时y=0，表达式取得最大值：3²+0²+2×3=15．

故答案为：15．

点评：

本题考点： 曲线与方程；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法．