Question

（2007•北京）数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公

Answer 1

解题思路：（1）由题意知（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．再由当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，知c=2．

（2）由题意知a_n-a_n-1=（n-1）c，所以

a

n

−

a

1

＝[1+2++(n−1)]c＝

n(n−1)

2

c

．由此可知a_n=n²-n+2（n=1，2，）

（1）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，

因为a₁，a₂，a₃成等比数列，

所以（2+c）²=2（2+3c），

解得c=0或c=2．

当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=2．

（2）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，

所以an−a1＝[1+2++(n−1)]c＝

n(n−1)

2c．

又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．

当n=1时，上式也成立，

所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．