解题思路:结合
f(x)=
1−x
3
,解绝对值不等式|f(a)|<2,我们可以求出p为真时参数a的取值范围;根据集合交集的定义及一元二次方程根的分布与系数的关系,可以判断q为真时参数a的取值范围;进而根据p∨q为真命题,p∧q为假命题,即p,q一真一假,分类讨论后,综合讨论结果,即可得到答案.
对p:所以|f (a)|=|
1−a
3|<2.
若命题p为真,则有-5<a<7;
对q:∵B={x|x>0}且 A∩B=∅
∴若命题q为真,则方程g(x)=x2+(a+2)x+1=0无解或只有非正根.
∴△=(a+2)2-4<0或
△≥0
g(0)≥0
−
a+2
2<0,∴a>-4.
∵p,q中有且只有一个为真命题
∴(1)p 真,q假:则有
−5<a<7
a≤−4,即有−5<a≤−4;
(2)p 假,q 真:则有
a≥7或a≤−5
a>−4,即有a≥7;
∴-5<a≤-4或a≥7.
点评:
本题考点: 命题的真假判断与应用;一元二次方程的根的分布与系数的关系.
考点点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,一元二次方程根的分面与系数的关系,由于两个命题为真时,求参数a的取值范围,都要用到转化思想,故本题难度稍大.