指数函数的极限运算请比较x-->0时,f(x)=2^x+3^x-2 与x两个无穷小的阶还有x-->0时,求f(x)=[(

1个回答

  • 首先告诉你方法,0/0型未定式求极限一般用洛必达法则.

    (1) x-->0时,由于lim[f(x)]=0,limx=0,属于0/0型未定式

    由洛必达法则可知lim[f(x)/x]=lim[f'(x)/x']

    =lim[(2^x+3^x-2)'/x']=lim(2^xln2+3^xln3)

    =ln2+ln3=ln6≠0,

    所以f(x)=2^x+3^x-2 与x为同阶无穷小.

    (2) x-->0时,由于lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]=1

    lim(1/x)=∞,属于1^∞型未定式,将1^∞型转化为0/0型未定式形式,再由洛必达法则求解.lim[f(x)]=lim[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)

    =lim{e^[(1/x)ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]}

    =e^{lim[ln[(a^x+b^x+c^x)/3]/x]}

    =e^{lim[[ln[(a^x+b^x+c^x)/3]]'/x']}

    =e^(lna+lnb+lnc)

    =e^[ln(abc)]

    =abc