解题思路:(1)中把a,b,c代入解不等式即可,(2)先将函数设成两根式,再定义新函数g(x),对新函数通过讨论a的取值确定范围.
(1)当a=-1,b=2,c=4时,
f(x)=-x2+2x+4≤1
即x2-2x-3≥0
∴x≤-1,或x≥3
∴f(x)≤1的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞)
(2)由已知得f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒成立
即a(x-1)(x-3)-1≤0在x∈(1,3)恒成立
令g(x)=a(x-1)(x-3)-1
=ax2-4ax+3a-1
=a(x-2)2-a-1
①当a=0时,g(x)=-1<0在x∈(1,3)恒成立,符合;
②当a>0时,易知g(x)<0在x∈(1,3)恒成立,符合
③当a<0时,则-a-1≤0,所以-1≤a<0
综上所述,实数a的取值范围为a≥-1.
点评:
本题考点: 二次函数的性质;函数恒成立问题.
考点点评: 本题考察了二次函数的性质问题,解不等式问题,渗透了分类讨论思想,是一道中档题.