Question

设{an}是正项数列，它的前n项和Sn满足：4Sn=（an-1）•（an+3），则a1005=______．

Answer 1

解题思路：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S_n=（a_n-1）（a_n+3）得到首项的值，写出通项公式．从而得到a₁₀₀₅．

∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），

∴4s_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+3），

两式相减得整理得：2a_n+2a_n-1=a_n²-a_n-1²，

∵{a_n}是正项数列，

∴a_n-a_n-1=2，

∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），

令n=1得a₁=3，

∴a_n=2n+1，

∴a₁₀₀₅=2×1005+1=2011．

故答案为：2011．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的递推式，解题时要注意数列通项公式的求解方法，合理地进行等价转化．