数列{an}中,Sn是前n项的和,且Sn=2an-3n

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  • 解题思路:(1)根据Sn=2an-3n,可以得到an=2an-1+3,构造数列{an+3}为等比数列,利用等比数列的通项公式,求得an+3,即可求得an

    (2)假设存在,写出三项,又知三项成等差数列,用等差中项验证,推出矛盾,得到结论不存在三项构成等差数列.

    (1)∵Sn=2an-3n,

    ∴当n≥2时,Sn-1=2an-1-3(n-1),

    ∴Sn-Sn-1=(2an-3n)-[2an-1-3(n-1)],即an=2an-1+3,

    ∴an+3=2(an-1+3),

    an+3

    an−1+3=2(n≥2),

    又a1=S1=2a1-3,解得a1=3,

    ∴数列{an+3}是首项为6,公比为2的等比数列,

    ∴an+3=6•2n-1=3•2n

    ∴an=3•2n-3;

    (2)设存在s,p,r∈N*,且s<p<r,使得as,ap,ar成等差数列,

    ∴2ap=as+ar

    ∴2(3•2p-3)=3•2s-3+3•2r-3,

    ∴2p+1=2s+2r,2p-s+1=1+2r-s,2p-s+1,2r-s为偶数,

    又∵1+2r-s为奇数,

    ∴2p+1=2s+2r不成立,

    ∴不存在满足条件的三项,

    故{an}中不存在三项,使它们构成等差数列.

    点评:

    本题考点: 等差关系的确定;数列的函数特性.

    考点点评: 本题考查了等差数列的应用,以及构造新数列求通项公式.求数列通项公式常见的方法有:利用等差等比数列的通项公式,利用Sn与an的关系,迭加法,迭乘法,构造新数列.根据具体的条件判断该选用什么方法求解.属于中档题.