解题思路：（Ⅰ）由ax-1≠0可求函数定义域；
（Ⅱ）由奇偶性的定义可作出判断；
（Ⅲ）对于定义域A中的任意的x，f（x）＞m恒成立，等价于f（x）min≥m，当x＞0时，由指数函数的性质可判断f（x）＞0，易知f（0）=0，由偶函数性质可知x＜0时也有f（x）＞0从而可得f（x）min=0．
（Ⅰ）由ax-1≠0，得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），即A=（-∞，0）∪（0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域关于原点对称，
又f（-x）=-x[[1/a+
2
a(a−x−1)]]=x[-[1/a]+[2
a(1−a−x)]=x[-
1/a]+
2ax
a(ax−1)]=x[-[1/a]+
2ax−2+2
a(ax−1)]=x[[1/a+
2
a(ax−1)]]=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（Ⅲ）当x＞0时，∵a＞1，∴ax-1＞0，
∴[1/a+
2
a(ax−1)]＞0，x[[1/a+
2
a(ax−1)]]＞0，即f（x）＞0；
当x=0时，f（x）=0；
当x＜0时，由偶函数的性质知f（-x）=f（x）＞0；
∴对于定义域A中的任意的x，f（x）≥0，
由f（x）＞m恒成立，得0≥m，
故实数m的取值范围是（-∞，0）．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性的判断、定义域的求解，考查函数恒成立问题，考查转化思想，属中档题．