解题思路:根据题意先设出函数f(x)的解析式,再由奇函数的关系求出a、c的值,再由二次函数的性质和最大值求出b的值.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则F(x)=f(x)+g(x)=(a+1)x2+bx+c+1为奇函数,
∴F(0)=0,且F(1)=-F(-1),∴a=-1,c=-1,得到f(x)=-x2+bx-1,
∵当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为[1/2],∴
b
2f(-1)=
1
2或
-1≤
b
2≤2
f(
b
2)=
1
2或
b
2>2
f(2)=
1
2
解得b=-
5
2,b=
6
所以f(x)=-x2-
5
2x-1或f(x)=-x2+
6x-1
点评:
本题考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质;二次函数的性质.
考点点评: 本题考查了待定系数法求函数解析式,即设出解析式利用题意列出方程,求出对应的系数值,对于函数参数的二次函数一定注意对称轴与区间的关系,分类讨论后再求出参数的值,考查了分类讨论思想的应用.