已知g(x)=x2+1,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为12,
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1个回答

  • 解题思路:根据题意先设出函数f(x)的解析式,再由奇函数的关系求出a、c的值,再由二次函数的性质和最大值求出b的值.

    设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则F(x)=f(x)+g(x)=(a+1)x2+bx+c+1为奇函数,

    ∴F(0)=0,且F(1)=-F(-1),∴a=-1,c=-1,得到f(x)=-x2+bx-1,

    ∵当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为[1/2],∴

    b

    2f(-1)=

    1

    2或

    -1≤

    b

    2≤2

    f(

    b

    2)=

    1

    2或

    b

    2>2

    f(2)=

    1

    2

    解得b=-

    5

    2,b=

    6

    所以f(x)=-x2-

    5

    2x-1或f(x)=-x2+

    6x-1

    点评:

    本题考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义;函数奇偶性的性质;二次函数的性质.

    考点点评: 本题考查了待定系数法求函数解析式,即设出解析式利用题意列出方程,求出对应的系数值,对于函数参数的二次函数一定注意对称轴与区间的关系,分类讨论后再求出参数的值,考查了分类讨论思想的应用.