在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示放置,点A在x轴上,点B的坐标为(m,1)(m>0),将此矩形绕O点逆时针

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  • 解题思路:(1)先根据四边形ABCD是矩形,点B的坐标为(m,1)(m>0),求出点A、C的坐标,再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标即可;

    (2)设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出abc的值,进而得出其抛物线的解析式;

    (3)根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标,把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可.

    (1)∵四边形ABCO是矩形,点B的坐标为(m,1)(m>0),

    ∴A(m,0),C(0,1),

    ∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成,

    ∴A′(0,m),C′(-1,0);

    (2)设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

    ∵A(m,0),A′(0,m),C′(-1,0),

    am2+bm+c=0

    c=m

    a-b+c=0,解得

    a=-1

    b=m-1

    c=m,

    ∴此抛物线的解析式为:y=-x2+(m-1)x+m;

    (3)存在.

    ∵点B与点D关于原点对称,B(m,1),

    ∴点D的坐标为:(-m,-1),

    ∵抛物线的解析式为:y=-x2+(m-1)x+m;

    假设点D(-m,-1)在(2)中的抛物线上,

    则y=-(-m)2+(m-1)×(-m)+m=-1,即-2m2+2m+1=0,

    ∵△=22-4×(-2)×1=12>0,

    ∴此点在抛物线上,解得m=

    1+

    3

    2或m=

    1-

    3

    2(舍去).

    故m的值为

    1+

    3

    2.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查的是二次函数综合题,此题涉及到图形旋转的性质及用待定系数法求抛物线的解析式,根据图形旋转不变性的性质求出A′、C′的坐标是解答此题的关键.