解题思路:(I)由题设,依据椭圆定义知,点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,依椭圆定义写出标准方程.
(2)求出两圆的圆心距以及两圆的半径,根据两圆的位置关系判断即得,两圆的位置关系有五种,应根据条件判断出应是那一种.
(I)由点M是BN中点,又
MP•
BN=0,
可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|,
所以|PA|+|PB|=4.
由椭圆定义知,点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.
如图焦点在x轴上,
由2a=4,2c=2,可得a2=4,b2=3.
可知动点P的轨迹方程为
x2
4+
y2
3=1 (6分)
(II)设点P(x0,y0),PB的中点为Q,,则Q(
x0 +1
2,
y0
2),
|PB|=
(x0−1)2+y02=
x02−2x0+1+3−
3
4x02=
1
4x02−2x0+4=2-[1/2]x0,
即以PB为直径的圆的圆心为Q(
x0 +1
2,
y0
2),,半径为1-[1/4]x0,,
又圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,
又|OQ|=
(
x0+1
2)2+ (
y0
2)2=
1
16x02+
1
2x0+1=1+
1
4x0
故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.(13分)
点评:
本题考点: 轨迹方程;直线与圆的位置关系.
考点点评: 考查椭圆的定义法求椭圆的方程以及两圆的位置关系的判断.考查基础知识的题型.