(2008•东城区一模)如图,在平面直角坐标系中,N为圆A:(x+1)2+y2=16上的一动点,点B(1,0),点M是B

1个回答

  • 解题思路:(I)由题设,依据椭圆定义知,点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,依椭圆定义写出标准方程.

    (2)求出两圆的圆心距以及两圆的半径,根据两圆的位置关系判断即得,两圆的位置关系有五种,应根据条件判断出应是那一种.

    (I)由点M是BN中点,又

    MP•

    BN=0,

    可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|,

    所以|PA|+|PB|=4.

    由椭圆定义知,点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.

    如图焦点在x轴上,

    由2a=4,2c=2,可得a2=4,b2=3.

    可知动点P的轨迹方程为

    x2

    4+

    y2

    3=1 (6分)

    (II)设点P(x0,y0),PB的中点为Q,,则Q(

    x0 +1

    2,

    y0

    2),

    |PB|=

    (x0−1)2+y02=

    x02−2x0+1+3−

    3

    4x02=

    1

    4x02−2x0+4=2-[1/2]x0

    即以PB为直径的圆的圆心为Q(

    x0 +1

    2,

    y0

    2),,半径为1-[1/4]x0,,

    又圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,

    又|OQ|=

    (

    x0+1

    2)2+ (

    y0

    2)2=

    1

    16x02+

    1

    2x0+1=1+

    1

    4x0

    故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.(13分)

    点评:

    本题考点: 轨迹方程;直线与圆的位置关系.

    考点点评: 考查椭圆的定义法求椭圆的方程以及两圆的位置关系的判断.考查基础知识的题型.